Appunti matematica generale pdf

Momento angolare rispetto ad un polo fisso. Corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso. Assi principali di inerzia. Matrice di inerzia. Calcolo del momento di inerzia per alcuni corpi rigidi omogenei: sfera, cilindro, anello, parallelepipedo. Teorema di Huygens-Steiner. Energia cinetica di un corpo rigido in moto roto-traslatorio. Rotolamento senza scivolamento. Conservazione dell'energia di inerzia.

Moti giroscopici. Moto di sistemi rigidi vincolati. Corpi rigidi tra loro collegati e calcolo delle reazioni vincolari. Statica del corpo rigido. Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa. Urto elastico tra corpi sferici. Urto frontale. Urto elastico contro una parete rigida. Urti anelastici. Urti di sistemi materiali vincolati. Meccanica dei fluidi Fluidi: liquidi e gas. Forze di volume e di superficie.

Indipendenza della pressione interna dall'orientamento. Legge di Stevino. Pressione atmosferica. Barometri e manometri. Vasi comunicanti. Teorema di Pascal. Onde meccaniche Onde elastiche longitudinali e trasversali. Equazione delle onde. Armoniche della frequenza fondamentale. Energia di un'onda. Interferenza, battimenti. Onde stazionarie.

Principio di Huygens-Fresnel. Effetto Doppler. Termodinamica Termometri e calorimetria. Termometri a gas e temperatura assoluta: legge di Gay-Lussac per i gas perfetti. Scala dei gas perfetti. Sistemi termodinamici chiusi, aperti, isolati. Equilibrio termodinamico: principio dello zero. Parametri di stato. Calorimetri Bunsen e delle mescolanze. Trasformazioni termodinamiche, quasi-statiche, reversibili, spontanee.

Parametri intensivi ed estensivi. Lavoro in una trasformazione termodinamica. Solenoide ideale. Moto di cariche in campi magnetici. Effetto Hall. Energia potenziale magnetica. Elettromagnetismo non stazionario Seconda e quarta equazione di Maxwell dipendenti dal tempo. Ridefinizione potenziali galvanometro balistico. Quadrivettore potenziale e dalambertiano.

Reinterpretazione di Faraday-Neumann. Induttanza e auto induzione circuito RL. Mutua induzione. Trattazione di circuiti magnetici. Bilancio energetico del campo magnetico e del campo elettromagnetico in generale. Correnti alternate Introduzione alle correnti alternate. Metodo simbolico.

Impendenza e risonanza circuiti LC. Potenza media e valori efficaci. Onde elettromagnetiche Generazione. Dipolo oscillante. Costruzione delle onde elettromagnetiche. Interferenza e diffrazione. Anche cr R a , ossia anche con la moltiplicazione scalare si costruito un nuovo elemento di R a. Abbiamo quindi introdotto in R a due operazioni, laddizione e la moltiplicazione scalare che estendono le corrispondenti operazioni tra numeri reali.

Vediamone le propriet. Cominciamo con laddizione. Proposizione 22 Siano r, e. Mostriamo la i , lasciando le altre al lettore. B Consideriamo ora la moltiplicazione scalare. Proposizione 23 Siano r. Mostriamo la ii : le altre sono lasciate al lettore. B Lultima operazione in R a che consideriamo il prodotto interno. Altre notazioni molto diuse per il prodotto interno sono r. Il prodotto interno unoperazione che dierisce dalla somma e dalla moltiplicazione scalare in un aspetto strutturale: mentre queste ultime hanno come risultato un nuovo vettore di R a , il risultato del prodotto interno uno scalare.

Il prossimo risultato raccoglie le principali propriet del prodotto interno: lasciamo al lettore la semplice dimostrazione. Proposizione 24 Siano r, e. Le due aree bianche sono i punti non confrontabili con r. Nel primo caso si parla di disuguaglianza stretta, in simboli r , nel secondo caso si parla di disuguaglianza forte, in simboli r. Dati due vettori r. Un caso particolarmente importante il confronto tra un vettore r e il vettore nullo 0. La notazione e terminologia che abbiamo introdotta non lunica possibile.

Al di l della scelta della notazione, che ha una forte componente di gusto personale, il signicato delle nozioni introdotte dovrebbe risultare chiaro. Concludiamo questa sezione generalizzando gli intervalli visti in R nella Sezione 1.

Dati c. Si hanno inoltre iv gli intervalli illimitati [c. In particolare, [0. Supponiamo di lanciare due volte la monetina. Linsieme degli esiti possibili dato dal prodotto cartesiano.

Pi in generale, se lanciamo : volte la monetina, linsieme degli esiti dato dal prodotto cartesiano. Per comodit analitica assumiamo che tali beni siano innita- mente divisibili, cosicch il consumatore possa acquistarne una quantit reale positiva qualsiasi per esempio, 3.

In questo caso, R. Linsieme dei panieri di mele e patate che il consumatore pu acquistare quindi R 2. In generale, un consuma- tore deve scegliere tra pi di due beni: qualora egli debba scegliere tra : beni, linsieme dei panieri dato dal prodotto cartesiano R a.

Per esempio, se il bene sono mele, r 1 la quantit di mele nel periodo 1, r 2 la quantit di mele nel periodo 2, e cos via no a r a che la quantit di mele nel periodo :-esimo. In questo caso, R a. Naturalmente, invece di un unico bene su pi periodi, possiamo considerare un paniere di beni su pi periodi. Similmente, in un problema intertemporale di pro- duzione, avremo vettori di input su pi periodi.

Tali situazioni si modellano con matrici, una nozione molto semplice della quale parleremo nel Capitolo Molte applicazioni si limitano comunque a un unico bene, e quindi R T uno spazio molto importante nella Teoria delle scelte intertemporali. Analoga rilettura si pu dare per i minimi. La scelta tra esse di pura comodit. Possiamo estendere la nozione di massimo nel seguente modo.

In modo analogo si denisce il minimo. Ci motiva la prossima denizione, di grande importanza nelle applicazioni economiche. In modo analogo si possono denire i minimali eventualmente forti , anchessi detti ottimi paretiani eventualmente forti 5. Il viceversa non vale: 5 Gli ottimi, come gli angeli, non hanno sesso.

Bench sarebbe preferibile parlare di massimi e di minimi paretiani, purtroppo la tradizione non distingue tra essi chiamandoli entrambi ottimi paretiani, lasciando che la loro natura sia chiarita dal contesto.

Il vertice 1. Nella seguente gura sono indicati in rosso gli ottimi paretiani deboli, di cui 1. Grazie al Lemma 25, le nozioni di massimo e massimale sono equivalenti in R. Ci non pi vero in R a con : 1, ove la nozione di massimo molto pi forte di quella di massimale. Quindi, r non punto massimale. B Il punto 1. La gura illustra unaltra dierenza fondamentale tra massimo e massimale in R a con : 1: il massimo di un insieme, se esiste, unico, mentre un massimale pu non essere unico anzi, molto spesso, non lo.

Chiudiamo osservando che, naturalmente, i massimali anche deboli possono non esistere, come mostra il prossimo semplice esempio. Il graco un sottoinsieme di R 2 privo di punti sia massimali deboli sia minimali deboli e quindi anche di punti massimali e minimali. I punti di ottimo paretiano massimali rappresentano le situazioni dalle quali non ci si pu allontanare senza diminuire il protto di almeno uno degli individui.

In altri termini, gli : individui non hanno nulla in contrario a restringere allinsieme dei suoi ottimi paretiani nessuno ci perde ; il vero problema di conitto dinteresse sorge quando si deve selezionare un punto tra questi ultimi. Il concetto di ottimo paretiano porta a restringere un insieme di possibilit alternative con il consenso unanime e perci a delimitarne il vero sottoinsieme critico. Sic- come faremo uso di nozioni che introdurremo nel Capitolo 7, preferibile rileggere la presente applicazione dopo tale capitolo.

Consideriamo due agenti, Alberto e Barbara, che debbano dividere tra loro quantit unitarie di due beni innitamente divisibili per esempio, un chilo di farina e un litro di vino. Vogliamo modellare il problema di divisione verosimilmente determinato da una contrattazione tra le parti e vedere se, grazie allottimalit di Pareto, possiamo dire qualcosa di non banale a riguardo.

I due agenti devono accordarsi sulle assegnazioni c 1. A tal ne, supponiamo che essi abbiano funzioni di utilit n o. Le curve di indierenza si possono inscatolare nel seguente modo 6 Per lottimalit paretiana essenziale che gli agenti considerino unicamente le loro alternative panieri di beni, protti, ecc. In altre parole, che essi non provino invidia o simili emozioni sociali. Per rendersene conto, si pensi a una trib di invidiosi, il cui capo decidesse di raddoppiare le razioni di cibo di met dei membri della trib, lasciando invariate quelle degli altri membri.

La nuova allocazione susciterebbe vivaci proteste da parte degli invariati bench nulla sia cambiato per loro. Grazie alla condizione 2. Anzi, possiamo in realt identicare ogni possibile suddivisione tra i due agenti con le as- segnazioni r 1. Ogni assegnazione r 1. Per dimostrarlo in modo rigoroso, ci occorre il prossimo semplice Lemma 27 Dati r 1. Poich r 1. Lultima disuguaglianza sempre vericata e possiamo concludere che vale la 2.

B Forti del lemma, mostriamo rigorosamente quanto il graco ha suggerito. Proposizione 28 Un prolo n o r 1. Cominciamo col mostrare che, per qualsiasi suddivisione di beni r 1.

Ne segue che le suddivisioni r 1. Rimane da mostrare che le suddivisioni sulla diagonale lo sono. Sia d. Ne segue che non esiste alcun r 1. Ci completa la dimostrazione. B Grazie alla Proposizione 28, possiamo dire che, se gli agenti massimizzano le loro utilit Cobb-Douglas, la contrattazione si risolver in una divisione dei beni sulla diagonale della scatola di Edgeworth, ossia tale che ogni agente abbia unugual quantit di entrambi i beni.

Naturalmente, la Proposizione 28 non pu dire alcunch su quale dei punti della diagonale sia poi eettivamente determinato dalla contrattazione. Linsieme 1 per un sottoinsieme molto piccolo di : grazie alla nozione di ottimo paretiano, siamo comunque riusciti a dire qualcosa di non banale sul problema di divisione. Capitolo 3 Struttura lineare In questo capitolo riprendiamo e approfondiamo lo studio della struttura lineare di R a cominciato nella Sezione 2.

Lo studio di tale struttura fondamentale di R a , che continueremo nel Capitolo 14 sulle funzioni lineari, parte dellAlgebra lineare. Per comprenderla appieno occorre per andare oltre R n e non rientra, perci, nello scopo del libro. La seguente caratterizzazione utile nel vericare se un sottoinsieme di R a un sottospazio vettoriale. Solo se. Ogni sottospazio vettoriale contiene quindi lorigine 0.

Siano infatti r. Esso un sottospazio vettoriale; infatti, il lettore pu vericare che, dati r. Pi in generale vale la Proposizione 30 Lintersezione di una collezione qualsiasi di sottospazi vettoriali di R a a sua volta un sottospazio vettoriale. Siccome r. Consideriamo r 4 come un parametro e risolviamo il sistema in r 1 , r 2 e r 3 : ovviamente otterremo soluzioni che dipendono dal valore del parametro r 4. B Al contrario dellintersezione, lunione di sottospazi vettoriali non in generale un sottospazio vettoriale, come mostra il prossimo esempio.

Infatti, 1. Usiamo subito tale notazione nella prossima fondamentale denizione: Denizione 17 Un insieme nito di vettori r i.

Linsieme c 1. Preso un insieme c i. Prima di proseguire con gli esempi dobbiamo chiarire una questione lessicale. Sebbene lindipendenza e la dipendenza lineare siano propriet da riferire a un in- sieme di vettori r i. I due vettori r 1 e r 2 sono perci linearmente indipendenti. I sottoinsiemi conservano lindipendenza lineare: Proposizione 31 I sottoinsiemi di un insieme linearmente indipendente sono, a loro volta, linearmente indipendenti.

La semplice dimostrazione lasciata al lettore, che anche invitato a vericare, come esercizio, che se si aggiunge un vettore pi duno a un insieme linearmente dipendente, linsieme rimane tale. Un vettore di R S combinazione lineare di c 1 e c 2 se e solo se ha la forma c 1. Infatti, c 1. Laver introdotto la nozione di combinazione lineare permette di enunciare una notevole caratterizzazione della dipendenza lineare.

In altre parole, il vettore r I di o combinazione lineare di altri elementi di o. Esiste un insieme c i. Ne segue che r 1. Il prossimo esempio mostrer come ci non valga per tutti gli insiemi di vettori linearmente dipendenti. I tre vettori sono perci linearmente dipendenti. Si noti come r S non sia combinazione lineare di r 1 e r 2 , ossia non esistono c 1. In conclusione, il Teorema 32 assicura che, in un insieme di vettori linearmente dipendenti, alcuni di essi sono combinazione lineare di altri, ma non detto che la propriet valga per tutti i vettori dellinsieme.

Per esempio, tale propriet valeva per tutti i vettori nei due esempi precedenti, ma non in questultimo. Il prossimo risultato unimmediata, ma fondamentale, conseguenza del Teorema Corollario 33 Un insieme nito o di R a linearmente indipendente se e solo se nessuno dei vettori nellinsieme o combinazione lineare di altri vettori in o.

La collezione non vuota perch, banalmente, R a contiene o ed quindi un elemento della collezione. Grazie alla Proposizione 30, lintersezione complessiva. In altre parole, span o il pi piccolo allargamento di o con la propriet di essere un sottospazio vettoriale. Il prossimo importante risultato mostra come span o abbia una rappresentazione concreta in termini di combinazioni lineari di o.

Teorema 34 Sia o un sottoinsieme di R a. Un vettore r R a appartiene a span o se e solo se combinazione lineare di vettori di o, ossia se e solo se esiste un insieme nito r i. Sia r R a una combinazione lineare di un insieme nito r i. B Prima di illustrare il Teorema 34 con un alcuni esempi, ne enunciamo una semplice conseguenza. Corollario 35 Sia o un sottoinsieme di R a. Supponiamo che o sia un insieme linearmente dipendente.

Per il Teorema 32, alcuni vettori in o sono a loro volta esprimibili come combinazioni lineari di altri elementi di o.

Per il Corollario 35, tali vettori sono perci ridondanti ai ni della generazione di span o. Un insieme o linearmente dipendente contiene quindi alcuni elementi ridondanti ai ni della generazione di span o. Ci non accade se, invece, o un insieme linearmente indipendente, nel qual caso, per il Corollario 33, nessun vettore di o esprimibile come combinazione lineare di altri elementi di o.

In altre parole, quando o linearmente indipendente, tutti i suoi vettori sono essenziali ai ni della generazione di span o. Le considerazioni fatte ci portano ad introdurre la nozione di base. Se o una base di R a si ha quindi: 1. BASI 87 Tale essenzialit di una base ai ni della rappresentazione come combinazioni lineari degli elementi di R a risulta evidente nel seguente risultato: Teorema 36 Un sottoinsieme nito o di R a una base di R a se e solo se ogni r R a si scrive in un sol modo come combinazione lineare di vettori in o.

Supponiamo esistano due insiemi di coecienti reali c i. Resta da dimostrare che o un insieme linearmente indipendente. Supponiamo che i coecienti reali c i. B Esempio 26 La base canonica di R a data dai vettori c 1.

Ogni r R a si scrive in maniera unica come combinazione lineare di questi vettori. Ogni vettore di R a ricostruibile come combinazione lineare dei vettori di una base di R a. In un certo senso, una base perci il codice genetico per uno spazio vettoriale, contenente tutte le informazioni necessarie per identicarne gli elementi.

Poich ci sono pi basi di R a , tali informazioni genetiche sono quindi sintetizzabili in diversi insiemi di vettori. Esse sono messe in luce dal prossimo teorema, le cui notevoli implicazioni lo rendono il Deus ex machina del capitolo. In ragione della sua importanza, diamo due diverse dimostrazioni del risultato.

La prima pi semplice, ma anche pi lunga e tediosa. Vogliamo mostrare che esistono : 1 vettori che aggiunti a r 1 formano una base di R a. Sia 1. Si ha. Mostriamo ora che i vettori r 1. Siano , i. BASI 89 poich per il Teorema 36 il vettore r 1 si scrive in maniera unica come combinazione lineare della base i. Si osservi che il risultato stato implicitamente usato anche nella precedente dimostrazione 4.

BASI 91 Dim. Dimostriamo che r. B Dim. Per il Lemma 38, c 1. B Il prossimo risultato una semplice, ma importante, conseguenza del Teorema Corollario 39 i Ogni insieme linearmente indipendente di R a con : elementi una sua base. Allora, r 1. B Siamo nalmente giunti al risultato principale della sezione.

Teorema 40 Ogni base di R a ha lo stesso numero : di elementi. In altre parole, bench linformazione genetica di R a sia codicabile in diversi insiemi di vettori, ossia in diverse basi, tali insiemi hanno lo stesso numero e nito di elementi, cio la stessa lunghezza.

Il numero : pu quindi vedersi come la di- mensione dello spazio R a ; del resto naturale pensare che uno spazio R a sia tanto pi grande quanti pi elementi hanno le sue basi, ossia quanto pi grande la quantit di informazioni che occorre per identicare i suoi elementi.

In conclusione, il numero : che emerge dal Teorema 40 indica la dimensione di R a e, in un certo senso, ne giustica lapice :. Esso pi grande perch occorre maggior informazione, cio basi di maggior cardinalit, per codicarne gli elementi.

Supponiamo che R a abbia una base di : elementi. Per la parte ii del Corollario 39, ogni altra base di R a pu avere al pi : elementi. Infatti, anche per essi siamo interessati a sottoinsiemi niti che ne racchiudano tutta linformazione essenziale. Anche le basi di sottospazi vettoriali permettono di rappresentare ogni vettore del sottospazio come loro combinazione lineare, e tale rappresentazione essenziale, priva di ridondanze. I risultati della sezione precedente si generalizzano facilmente 6.

Cominciamo con il Teorema In particolare, vale la seguente generalizzazione del Teorema A sua volta, il Teorema 42 porta alla seguente estensione del Teorema Teorema 43 Ogni base di un sottospazio vettoriale di R a ha lo stesso numero di elementi.

Ci motiva la prossima denizione, implicita nella discussione che ha seguito il Teorema La nozione di dimensione rende interessante questa sezione che altrimenti sarebbe una mera rivisitazione dei risultati della sezione precedente , come mostrano i prossimi esempi. Esempio 29 i Lasse delle ascisse un sottospazio vettoriale di dimensione uno di R 2. Il mercato osservato in due sole date: 0 oggi e 1 una data futura. Ciascuna attivit nanziaria aleatoria: il suo pagamento nale in data 1 assume valori potenzialmente diversi in : diversi stati del mondo che diremo.

Esempio 31 Supponiamo che i pagamenti dei titoli dipendano dallo stato dellecono- mia, che pu essere di tre tipi:. S di R S , in cui i il pagamento del titolo nel caso la stato. Indichiamo con. Il mercato aperto in data 0 per operazioni di com- pravendita dei titoli quotati. Facciamo lipotesi che il mercato sia perfetto: tutti i titoli si possono acquistare o vendere allo scoperto in qualunque quantit anche enorme o piccolissima allo stesso prezzo i prezzi dacquisto coincidono cos con i prezzi di vendita: non vi sono cio n dierenze denaro-lettera, n costi di transazione o imposte e nemmeno sconti di quantit.

Una combinazione lineare di titoli. Sia n R n un prolo di pagamenti nei vari stati. In altre parole, i vettori di R n replicati da portafogli sono tutti i proli di pagamenti aleatori che si possono costruire sul mercato tramite opportune operazioni di compravendita degli : titoli quotati. Il sottospazio vettoriale generato dai titoli quotati contiene tutti e soli i vettori di pagamenti replicabili.

Se gli : titoli del listino sono linearmente dipendenti, alcuni di essi sono inutili perch risultano replicabili cio ricostruibili attraverso portafogli degli altri titoli. Per esempio, dei tre titoli con i vettori 3.

Quindi, se i vettori 1. In questo caso, con portafogli di titoli quotati, si pu ottenere qualsiasi vettore di pagamenti nali: il mercato detto completo. Siamo quindi giunti a una prima fondamentale classicazione dei mercati nanziari, basata sulle nozioni di algebra lineare studiate. Nel Capitolo 14 proseguiremo lo studio dei mercati nanziari qui intrapreso. Da ultimo, osserviamo che i vettori fondamentali c 1. Essi sono detti titoli elementari o secondo Arrow e rappresentano assicurazioni per- fette contro i vari stati del mondo: il generico c i R n paga 1 se si verica.

Bench ttizi, nella Sezione Capitolo 4 Struttura euclidea 4. Loperazione di prodotto interno e le sue propriet caratterizzano invece la struttura euclidea di R a , che studieremo nel capitolo. Ricordiamo dalla Sezione 2. Questa semplice osservazione sar centrale nel capitolo perch permetter di denire la fondamentale nozione di norma usando il prodotto interno. Prima di studiare la norma introduciamo il valore assoluto, che la versione scalare della norma e che il lettore forse gi conosce.

La propriet iv detta disuguaglianza triangolare. Quindi, la norma in R a eettivamente generalizza il valore assoluto in R. Geometricamente la norma di un vettore non altro che la lunghezza del segmento che lo rappresenta. Il prossimo risultato raccoglie le pi semplici. Proposizione 44 Siano r. Verichiamo per esempio la ii , lasciando al lettore le altre.

La cele- bre disuguaglianza di Cauchy-Schwarz una diversa, e pi sottile, estensione di tale propriet.

Proposizione 45 Cauchy-Schwarz Risulta, per ogni r. Supponiamo perci che entrambi i vettori non siano nulli.

Come il lettore pu vericare, ci accade se e solo se essi sono linearmente dipendenti. B La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ci consente di dimostrare la disuguaglianza triangolare, completando in tal modo lestenzione alle norme delle propriet i - iv del valore assoluto. Corollario 46 Risulta, per ogni r.

Quadrando, la 4. B Un vettore di norma unitaria detto versore. In particolare, i quattro versori c 1. Ci suggerisce la: 4. Dalla commutativit del prodotto interno segue che rl equivalente a lr.

Esempio 33 i Due versori fondamentali sono ortogonali. Grazie alla nozione di ortogonalit ne abbiamo la versione generale per R a. Lortogonalit si estende in modo naturale a insiemi di vettori. Denizione 23 Un insieme di vettori r i. Una notevole propriet degli insiemi ortogonali la lineare indipendenza. Proposizione 48 Un insieme ortogonale linearmente indipendente. Sia r i. B Un insieme ortogonale composto da vettori di norma unitaria, cio da versori, detto ortonormale.

In generale, dato un insieme ortogonale r i. Le basi ortonormali di R a , in primis quella composta dai versori fondamentali, sono le pi importanti tra le basi di R a poich per esse facile determinare i coecienti delle combinazioni lineari che rappresentano i vettori di R a : Proposizione 49 Sia r 1. B Per la base canonica c 1. Proposizione 50 Per un insieme ortogonale r i. Dimostriamo il risultato per induzione.

B Capitolo 5 Struttura topologica In questo capitolo daremo la fondamentale nozione di distanza tra punti di R a e ne studieremo le principali conseguenze. Consideriamo due punti r e sulla retta, con r , -4 -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Distanza tra r e. La distanza tra i due punti r , ossia la lunghezza del segmento che li congiunge. In simboli, possiamo scrivere d r. R In particolare, d 0. La distanza tra i due vettori r e data dalla lunghezza del segmento che li congiunge.

Grazie al Teorema di Pitagora, tale distanza d r. S 2 e quindi si ha ancora: d r. Denizione 24 Si dice distanza euclidea d r. In particolare, si ha d r. Vale la seguente proposizione per distanze tra vettori di R a , la cui semplice di- mostrazione basta applicare le denizioni lasciata al lettore. Proposizione 51 Siano r. Allora: i d r. Le i - iv sono tutte propriet naturali per la nozione di distanza. La i aerma che una distanza sempre una quantit positiva, la ii che nulla solo quando i vettori in esame sono uguali, mentre vettori diversi hanno sempre una distanza non nulla.

La iii aerma che la distanza una nozione simmetrica: nel misurarla non conta da quale dei due vettori si parte. Inne, la iv la cosiddetta disuguaglianza triangolare: per esempio, la distanza tra Milano r e Roma non pu superare la somma delle distanze tra Milano e qualsiasi altra localit.

Si riportano i risultati su un grafico che deve esplicitare tutti i risultati trovati. Studiare le seguenti funzioni. Studiare le seguenti funzioni, tralasciando lo studio della derivata seconda se troppo complesso. Generale 1 2. In genere questi software sono facilmente in grado di trovare valori approssimati, con il voluto grado di approssimazione, di aree del tipo che stiamo considerando.

Noi ci occuperemo della risoluzione di questo problema solo in casi molto semplici, segnalando che tutti i software di calcolo simbolico sono in grado di trovare primitive anche di funzioni complesse ma non di tutte. Allora vale la seguente formula Z Z Si costruisce in questo modo una nuova tabella, detta Tabella delle primitive fonda- mentali.

Proponiamo di seguito qualche semplice esempio. Qui abbiamo applicato la formula di integrazione per parti. Si noti che eravamo in grado sia di calcolare la primitiva di ex che quella di x. Generale a b a b Figura Si vedano le figure seguenti. Siamo ora pronti per dare una definizione formalmente corretta del concetto di integrale definito. Sia data una funzione f definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b].

I numeri a e b si chiamano estremi di integrazione, la funzione f si chiama funzione integranda. Sia data una funzione f definita e continua in un intervallo I. Sia inoltre F una primitiva di f in I. Lasciamo al lettore questo facile! Generale Esempio. La figura che segue illustra chiaramente questa situazione. Per quanto ci riguarda saremo interessati a seguenti due tipi di problemi. Allora si definisce: Z b Z b Calcolare i seguenti integrali indefiniti.

Calcolare i seguenti integrali definiti. Per ciascuna delle funzioni seguenti, definite a pezzi, calcolare gli integrali indicati.

Dire se esistono, ed eventualmente calcolarli, i seguenti integrali impropri. Naturalmente potremo scrivere esplicitamente la tabella solo in corrispondenza a un numero finito di valori di x, per esempio per alcuni valori presi sui numeri naturali, come nella tabella 2. Come sug- gerisce la figura 9. La figura che segue mostra, come ulteriore esempio, una situazione in cui sono presenti due monti e una valle.

La figura Si tratta della convenzione che viene normalmente adottata nelle carte geografiche. Le immagini della figura Le figure rappresentano le superfici sia utilizzando una piastrellatura che curve di livello.

Superficie simile a quella della figura Valgono tutti i teoremi sui limiti, opportunamente adattati e in particolare le regole di calcolo sulla retta reale estesa ricordiamo che le funzioni di due variabili hanno dominio in R2 , ma codominio in R, esattamente come le funzioni di una variabile.

Sia data una funzione f x, y , di dominio D, e sia x0 , y0 un punto di accumulazione per D, appartenente a D. Per rendersi conto di questi fatti basta pensare che i punti appartenenti a rette verticali hanno tutti la stessa ascissa, mentre quelli appartenenti a rette orizzontali hanno tutti la stessa ordinata.

Nelle due immagini della figura Tre di queste linee sono rappresentate nella figura Questi due grafici sono riportati nella figura Come vedremo queste derivate hanno interesse non solo per le curve intersezione, ma anche per la funzione di due variabili nel suo complesso.

La cosa, loro uso. Vale infatti il seguente notevole teorema. Se le derivate seconde miste sono continue, allora esse sono uguali. Nei casi che ci interessano le cose andranno sempre nel senso previsto da questo teorema, ovvero le derivate seconde miste saranno sempre uguali. Per le funzioni di due variabili le derivate parziali, in base a quanto abbiamo detto, serviranno a determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve intersezione tra la superficie e il piano verticale parallelo al piano Oxz oppure Oyz.

Nei casi che ci interessano questi problemi sono risolubili con lo studio delle derivate prime e seconde della funzione e, eventualmente di una nuova funzione la funzione Lagrangiana costruita a partire dalla funzione stessa in modo da tenere conto di eventuali ulteriori condizioni vincoli. Si tratta di una situazione identica al caso delle funzioni di una variabile, dove, nei punti di massimo e minimo interni al dominio era la retta tangente ad essere orizzontale.

Basta pensare ai punti di sella o alle selle di scimmia vedi le figure Se una funzione f x, y dotata di derivate parziali ha, in corrispondenza a un punto x0 , y0 interno al dominio, un massimo o un minimo, allora necessariamente le derivate sono contemporaneamente nulle in x0 , y0.

Generale volte anche punto critico per f x, y. Nulla di simile per le funzioni di due variabili, dove i concetti di funzione crescente e decrescente non hanno alcun senso. Sia data una funzione f x, y dotata almeno di derivate seconde. Si hanno tre punti critici.

Riesaminiamo la figura In sostanza si tratta di questo: invece di considerare tutti i punti della superficie, consideriamo solo quelli relativi ai punti di questa circonferenza.

Sia data una funzione f x, y definita in un dominio D, e si consideri una curva C tracciata nel dominio potrebbe essere semplicemente il bordo del dominio. Allora: 1. Si procede nel seguente modo: 1. Generale due variabili il massimo e minimo assoluto esistono sicuramente. Quante macchine di ogni tipo deve acquistare?

Per il momento ci limitiamo ad usare il grafico della figura Torneremo successivamente su questo punto. Generale 20 15 y 10 5 0 z 0 30 20 10 x 0 Figura In que- sto punto calcoliamo le derivate prime della funzione vincolo e le derivate seconde della funzione lagrangiana. Calcolare le derivate parziali prime e seconde delle seguenti funzioni. Per le funzioni di seguito elencate dire se i punti indicati sono di massimo, minimo o sella liberi ; se possibile determinare se esistono altri punti di massimo, minimo, sella.

Generale Esercizio Delle seguenti funzioni determinare se i punti indicati sono candidati ad essere di massimo o minimo vincolato sul vincolo indicato. Se possibile dire se si tratta di massimo o minimo e determinare il massimo e minimo assoluti. Segnaliamo inoltre che, nella numerazione dei teoremi, definizioni, osservazioni, ecc. Altri testi usano invece numerazioni progressive separatamente per i teoremi, le definizioni, ecc.

Si tratta naturalmente solo di una questione di gusto personale. R Insieme dei numeri reali. C Insieme dei numeri complessi. A, B,. Notazione per gli insiemi. Inoltre nulla cambierebbe se si prendessero frazioni in cui anche il denominatore possa essere intero naturalmente diverso da 0. Altri usano per esempio lettere maiuscole in grassetto: A, B,. In ogni caso tutto dovrebbe essere chiaro dal contesto. Analoga osservazione per i soprainsiemi. Altri adottano la notazione log x per indicare il logaritmo in base e e la notazione Log x o esplicitamente log10 x per indicare il logaritmo in base 10 del numero x.

Appunti di Analisi matematica 1 By Raffaele Cocchiaro. Geometria differenziale By Alessio Miscioscia.